Η Μονή Αγίου Ανδρέα Μηλαπιδιά ιδρύθηκε το 1587 από την κόμισσα Ρωξάνη. Μια εικόνα του Αγίου Ανδρέα βρέθηκε κάτω από μια μηλαπιδιά, κι έτσι η μονή πήρε το όνομά της από το δέντρο. Βρίσκεται ακριβώς δίπλα στο Εκκλησιαστικό Μουσείο του Άγιου Ανδρέα και οι επισκέπτες εκπλήσσονται από τους θησαυρούς και την ομορφιά του.
Η μονή ιδρύθηκε κατά τη διάρκεια της Βυζαντινής εποχής και επανιδρύθηκε το 1579 όταν τρεις ντόπιες πνευματικές αδελφές η Βενεδίκτη, η Λεοντία και η Μαγδαληνή αγόρασαν τη γη, όπου βρισκόταν κάποτε το εκκλησάκι του Αποστόλου Ανδρέα κι άρχισαν ένα μικρό γυναικείο μοναστήρι.
Το 1639 η ελληνορουμάνα πριγκίπισσα Ρωξάνη, που μετονομάστηκε σε μοναχή Ρωμυλία, ξεκίνησε τη μοναστική ζωή της. Η πλούσια πριγκίπισσα αφιέρωσε ένα μεγάλο ποσό χρημάτων στο μοναστήρι κι έφερε ένα πολύτιμο πνευματικό θησαυρό από το Άγιο Όρος. Ήταν τα ιερά λείψανα του δεξιού ποδιού (πέλματος) του Αποστόλου Ανδρέα, με την τρύπα από τη σταύρωση του Αγίου.
Η μονή διαθέτει επίσης ένα Εκκλησιαστικό Βυζαντινό Μουσείο που ιδρύθηκε το 1988, το οποίο βρίσκεται στον παλιό ναό που ήταν το μοναδικό κτίσμα που σώθηκε από το σεισμό του 1953. Οι θησαυροί τέχνης που βρίσκονται εκεί χρονολογούνται μεταξύ 1300-1900 μ.Χ.
Εκτός από τις υπάρχουσες τοιχογραφίες και εικόνες που βρίσκονται στο μοναστήρι, έχουν μεταφερθεί στο μουσείο κι άλλες από εγκαταλελειμμένες εκκλησίες σε όλη την Κεφαλονιά.
Κατά τη διάρκεια της βρετανικής κατοχής στις αρχές του 19ου αιώνα, υπήρξε σύγκρουση μεταξύ των καλογριών και των Βρετανών που διέκοψαν προσωρινά τις Θείες Λειτουργίες στη Μονή και κάλυψαν τις όμορφες νωπογραφίες της με ασβέστη το 1832, διότι το Μοναστήρι – ένα Ελληνορθόδοξο επίκεντρο – τηρούσε αρνητική στάση προς τη βρετανική κατοχή.
Τώρα οι θησαυροί της Μονής και οι εικόνες επιδεικνύονται με υπερηφάνεια και ανάμεσά τους υπάρχει μια ζωγραφιά της μοναχής Ρωμυλίας με τους γονείς της.
Στη Μονή εκτελούνται αγρυπνίες συνεχώς και η Θεία Λειτουργία πραγματοποιείται κάθε Κυριακή. Οι μοναχές περνούν τον υπόλοιπο χρόνο τους φτιάχνοντας επίσημα ράσα για επισκόπους, χειροτεχνίες και κηπουρική. Η Μονή πανηγυρίζει δύο φορές το χρόνο – την Παρασκευή μετά το Πάσχα και στις 30 Νοεμβρίου που είναι η ημέρα της γιορτής του Αγίου Αποστόλου Ανδρέα.
